魏尔斯特拉斯函数 德国十位数学家排排座：从天才到超神！

转自:数学算法俱乐部

对哲学花园的认知

德国近代史上诞生了许多伟大的数学家，其中特别挑选了十位个人感觉最好的数学家。本文仅代表个人观点，不喜勿喷。

康托尔

等级:天才

类型:创意突破

代表性成就:

1.集合论

2.超贫数论

简短评论:

康托尔，最具革命性的数学家，接触无穷两千多年，却无法把握和理解。这的确是对人类的尖锐挑战。康托尔以其独特的思维、丰富的想象力和新颖的方法，画出了人类智慧的杰作——集合论和超穷数论，震惊了19、20世纪之交的整个数学乃至哲学界。毫不夸张地说，“关于数学的无限革命几乎是由他一个人完成的。”他创立的集合论已经成为现代数学基础理论的构建。

NO9 waier

等级:天才

类型:master

代表性成就:

1.群论

2.积分方程

3.黎曼曲面

简短评论:

希尔伯特的后继者对表象理论、李群李代数、微分拓扑、复几何等分支做出了基础性的贡献。由于对数学各个学科的研究越来越广泛和深入，庞加莱和希尔伯特死后，就没有近代数学家熟悉数学的各个领域。维尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全面发展的数学家”。

NO8。狄利克雷的

等级:天才

类型:突破性突破

代表性成就:

1.解析数论(创始人)

2.数学分析

3.数学物理

简短评论:

狄利克雷在数学和力学方面都有很大的贡献，尤其是在分析、数论和位势论方面。

“狄利克雷是一位对现代函数概念给出精确解释的有见地的数学家”。并提出了单值函数的新概念，还提出了所谓的“狄利克雷函数”，所谓的“狄利克雷积分”等等。他还在势论、热力学、磁学、数学物理等方面有所创新。

并提出了单值函数的新概念，还提出了所谓的“狄利克雷函数”，所谓的“狄利克雷积分”等等。他还在势论、热力学、磁学、数学物理等方面有所创新。

NO7。雅可比

水平:超级天才

类型:master

代表性成就:

1.代数学

2.椭圆函数理论

3.复变函数理论

简短评论:

雅各布对数学有着深刻的见解，他的数学天赋已经无法用天才来形容。他可怕的心算能力估计在历史上仅次于欧拉。他的工作包括代数、变分法、数学分析、复变函数理论和微分方程，以及数学史的研究。连接不同的数学分支是他的研究特色。他不仅将椭圆函数理论引入到数论的研究中，得到了同余理论和类型理论的一些结果，还将其引入到积分理论中。积分理论的研究与微分方程的研究有关。另外，尾乘原理也是他提出的。

现代数学中的许多定理、公式、泛函恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根、行列式以及许多数学符号都被命名为雅可比，可见雅可比的成就对后世影响深远。

NO6。Willerstrass

水平:超级天才

类型:史诗突破

代表性成就:

1.数学分析(现代分析之父)

2.严格微积分

3.复变函数理论

4.提出ε-N语言和ε-δ语言

简短评论:

劳伟是一个具有深刻洞察力和观察力的超级数学天才。用ε-δ语言系统地奠定了实分析和复分析的基础，基本完成了分析的算术性和严密性，被誉为“现代分析之父”。

他对严格的微积分做出了巨大的贡献。通过明确极小极大、极大、函数、导数等概念。，他排除了微积分中仍然出现的各种错误表述，理清了关于无穷和无穷小的各种混乱概念，果断地克服了因无穷和无穷小的朦胧思想而产生的困难。

今天，分析的和谐、可靠、完善程度，本质上可以归功于Willstromas的科学活动。

NO5。诺特

水平:超级天才

类型:革命性突破

代表性成就:

1.抽象代数(抽象代数之母)

2.诺特定理

3.数学物理

简短评论:

她的研究领域是抽象代数和理论物理。她善于通过透彻的洞察建立优雅的抽象概念，然后将它们优美地形式化。她彻底改变了环，域，代数的理论。

她从不同领域的相似现象出发，对不同的对象进行抽象和公理化，然后统一处理，从而完成了这篇重要的论文《环中理想论》。这是一个伟大的数学创造，标志着抽象代数真正成为数学的一个分支，或者说标志着这个数学分支现代化的开始。因此，诺特获得了“现代数学代数的伟大先驱”和“抽象代数之母”的美誉。

NO4。莱布尼茨

等级:准神

类型:百科全书式的数学家

代表性成就:

1.微积分(创始人)

2.数学逻辑

3.数学符号

4.拓扑学

简短评论:

德国哲学家、数学家，历史上罕见的多面手，被称为十七世纪的亚里士多德。

莱布尼茨几乎精通他那个时代的所有数学分支，拓扑学是当代最难的数学分支之一，是他首先提出的。他发明的微积分比牛顿的更简单，更先进，他的微积分和数学符号几乎占据了世界的主导地位。。。。。。

第三，希尔伯特

等级:准神

类型:数学的无冕之王

代表性成就:

1.不变理论

2.代数数域理论

3.几何学

简短评论:

作为20世纪数学教父，他的巨大成就几乎涵盖了当时数学的所有分支，对基础数学做出了开创性的贡献。

1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，他提出了23个新世纪数学家应该努力解决的数学问题，被认为是20世纪数学的最高点。对这些问题的研究极大地促进了20世纪数学的发展，并在世界范围内产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学的一面旗帜。希尔伯特被称为“数学的无冕之王”，是天才中的天才。

关于和庞加莱的学术竞争？

即使现代双子，也叫庞加莱，不如高斯、欧拉等领袖，希尔比特的数学成就也几乎是达摩级别的。

在大众的影响上，教父超越了庞加莱，23道数学题奠定了教父作为全球数学领袖的地位。他的弟子和孙子遍布数学领域；但平心而论，纯数学的学术成就不如庞加莱。最重要的是，希尔伯特所追求的公理系统，他认为是最重要的成就，被粉碎了，输给了庞加莱辉煌的直观系统。所以从学术上来说，希尔伯特最终并没有庞加莱重要，数学家的影响力应该排在20世纪庞加莱之后。

PS:下面两位重量级人物并不局限于德国，而是有绝对实力在世界范围内争夺NO1数学家的荣耀，所以想从世界的角度来写，值得我在首都特写。

NO2。高斯

等级:神

类型:统治时代

代表性成就:

1.算术探索

2.表面固有微分几何

3.概率论的正态分布

4.高斯奇妙定理

5.高斯电磁定律

简短评论:

作为古典数学大师，现代数学的重要启蒙者和奠基人，普林斯的成就涵盖了数学的所有分支，被公认为数论史上第一人，几何史上前5名，初等数论大师，代数数论鼻祖，现代微分几何鼻祖。他对概率论有很大贡献，在非欧几何、代数数论、椭圆函数论和椭圆积分、电磁学等方面做了早期的一系列工作。

普林斯的学术成就遍及数学的各个领域和分支，而且极其深刻和完整。毫无疑问，高斯是有史以来最伟大的数学家之一！特别是从学术广度、综合性、公众影响力和在数学史上的地位来看，高斯基本上被公认为数学之王和历史第一人。

但如果看个人学术成就的意义、开拓性和重要性，以及对数学本身和后世的影响和辐射力，高斯绝不是历史第一人，连前三都没有排名。

论学术成就和深度，开拓性，高斯和黎曼相差太远，无法相提并论，而高斯至少比黎曼差两三个档次，所以基本上不是同档次的数学家。

与庞加莱相比，两者都具有全面性和广度，深度和完成度几乎相同。但是庞加莱的拓扑学比高斯的难很多，拓扑学对现代物理的渗透远远超过高斯的物理渗透。而且庞加莱的拓扑学，也就是数学中心结构，无法和王子的任何成就相比，所以王子不如庞加莱，差了一半到一个档次。

就数学成就而言，其实高斯和欧拉、希尔伯特、格罗滕迪克差不多，就单个数学成就而言，高斯甚至不如伽罗瓦、阿贝尔！但高斯考虑了时代因素，在他所处的时代做出了如此广泛而全面的成就。在学术成就相近的前提下，王子比希尔伯特、诺特、格罗滕迪克早了近百年，确实可敬可佩，所以他把王子排在德国第二，世界第二。

但可以肯定的是，在未来的过程中，高斯的学术排名和影响力会进一步降低。随着代数几何与群论、表象论、几何Langlands的进一步发展，我们会感受到格罗滕迪克、庞加莱、希尔伯特的伟大，他们的学术成就排名未来可能超过高斯！而且不排除(可以肯定)未来会有更强的数学家，所以世界第二的高斯是不稳定的。

但高斯在严密性和抽象性上优于欧拉，在深度、完备性和全面性上优于阿贝尔和伽罗瓦，暂列世界第二是合适的。

我们来说说高斯的伟大之处:

1.在数学史上，没有谁能比得上广度和厚度。王子是数学史上第一个和欧拉并列的全才，在抽象性和严密性上甚至超越了欧拉。在他那个时代，数论当之无愧是历史第一，几何史上前五。他在代数领域也取得了比阿贝尔和伽罗瓦更强的成就。在分析领域，他仅次于魏斯特拉斯，柯西、黎曼、阿贝尔等几个人略领先于他。换句话说，在1840年之前，王子是绝对的统治人物，是牛顿和欧拉之后的数学家。1840年以前，高斯在数学四大领域:数论、几何、代数、分析取得了顶尖的成就，无人能比！不管是阿贝尔·伽罗瓦还是威勒斯特拉斯·雅各比，他们无疑都是他的学生。虽然后来者在某些领域超越了高斯，但高斯有自己完整的统治时代，这一点毋庸置疑！王子的全面性不愧为历史第一。黎曼庞加莱在代数上是弱的，格罗滕迪克希尔伯特、庞加莱、阿贝尔和伽罗瓦在几何拓扑上是弱的，欧拉在整体严格性和抽象严格性上不如普林斯，柯西在成果的重要性上明显不同于高斯。换句话说，在19世纪40年代群论和椭圆函数论逐渐出现之前，高斯是历史上第一人是无可争议的。

2.枣辉的传说，神话走在时代的前面！高斯早期智慧的传说千古流传，给他的公众影响力带来了耀眼的光环。19岁时，他超越了法国3L数学家的成就和地位，年纪轻轻就登上了数学的神坛，成为当时数学家们崇拜的最高偶像，拥有无与伦比的声望、权威、威望和地位！甚至在今天，很多专业或业余数学家和爱好者都认为高斯是历史第一！

3.高斯的数学笔记无疑是他辉煌数学生涯的最好注脚！太子死后整理出来的笔记中的很多结论甚至是当时的杰出成就，完成于1814年之前。它们包含了数论、分析、几何、代数的成果，是当时最先进的东西。他们研究了高阶代数方程、分圆方程，甚至发现了椭圆函数的双重周期性。这些成就一直领先，直到阿贝尔和伽罗瓦出现。伽罗瓦的理论得到认可，几乎是从19世纪40-50年代开始的，换句话说，高斯这些未发表的笔记是超前了几十年的。如果高斯当时发表了这些著作，就能让数学研究直接以他为基础，至少领先40-50年！

这也是高斯伟大的数学生涯惊人的智力表现！

4.王子是个MoMo，不喜欢也不善于教学。虽然有很多由顶尖数学家组成的豪华粉丝群，但他在传教方面几乎算不上出类拔萃。

但是，高斯有一个名字照耀着黎曼，历史上最强的数学家弟子！虽然黎曼没有受到高斯教学的影响，与高斯的接触也很少，但黎曼可以看作是高斯从哥廷根体系中的得意门生。在黎曼的博士论文和就职演说，数学史上最伟大最辉煌的篇章中，高斯给了黎曼最大的支持和最高的赞誉！

大高斯的缺点:

1.最大的不足:19世纪现代数学最重要的符号成就没有一个是由王子独立开创的！现代数学的标志性成果，如黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、严格分析基础、复变函数论等等，没有一个是高斯创立的！虽然高斯在几乎所有领域都做出了突出的贡献，但他并不是一个决定性的人物，由于群论中的伽罗瓦和阿贝尔，椭圆函数论中的阿贝尔和雅可比在工作上已经超越了高斯，黎曼、柯西和Willerstrass在复分析和分析基础以及复函数论方面取得了最大的成就。虽然高斯被认为是非欧几何的创始人之一，但他并没有公开发表论文，完成程度也不如罗巴切夫斯基和鲍耶。虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的创始人，但统一了非欧几何、微分几何和椭圆几何的黎曼几何却是由黎曼创立的。即使在高斯最强的数论领域，高斯数论的著作也没有黎曼猜想重要，只有八页长。

而且高斯只主宰了初等数论，对代数数论和解析数论的贡献很小，甚至不如黎曼、戴德金、狄利克雷！几乎所有19世纪近代数学最重要的标志性成就，都不属于高斯！是不是很神奇？在很多人眼里，历史上第一个数学家，没有一项成就能排在19世纪最重要的顶尖成就之列！

这就尴尬了！换句话说，会严重伤害很多高斯粉脆弱的心灵，就是高斯显然被高估了，尤其是在学术成就上！高斯远非九霄云外的控制数学！这样吹嘘高斯的粉丝恐怕不知道高斯做过什么，也不知道其他学者做过什么。

所以高斯在学习成绩上的排名必然会继续下滑！毫无疑问！从广度、厚度、全面性来看，高斯无疑可以说是历史第一人。可以说，高斯完成了很多人一起完成的工作，这是一个智力上的奇迹，但说到深度、精准、开拓、洞见、颠覆，高斯就明显逊色了。其实在1854年高斯听黎曼基于几何的就职演说的那一天，王子就被黎曼远远超越了！从那天起，王子就不是历史上最好的了！因为高斯的很多学术成就，没有一个能被列入顶级行列，这种不足决定了王子其实是被夸的！

2.关于高斯的数学笔记！

这不仅是高斯的亮点，也是最大的黑点之一！不可否认的是，高斯死后整理出来的笔记即使在当时看来也是非常优秀的作品。如果早点发表，数学至少早推广3445年！但问题是这些成果在高斯有生之年并没有公开发表！因为高斯追求完美人格，所以没有发表。什么叫高斯笔记的结果其实并不完美，还有很多不足！高斯研究了高阶方程的解，但发现群论的优点属于伽罗瓦和阿贝尔。高斯发现了椭圆函数的双重周期性，但阿贝尔和雅可比对椭圆函数的研究比高斯深入得多！高斯有过非欧几何的想法，但是完成度不如罗巴切夫斯基和宝叶！

高斯一生都在为解决几何基本问题而奋斗，而这些问题在他死前已经被黎曼解决了！最小二乘法和二次倒数率勒让德还发现正态分布高斯的发明权必须与德莫尔、拉普拉斯等共享…

你什么意思？也就是说，其实是因为高斯当时并没有发表这些成果，而是实际上已经被他同时代的人做出或者超越了！换句话说，不管有没有高斯，这些结果还是会出现，高斯对这些数学结果的诞生影响不大。

当高斯的笔记在高斯死后正式出版时，这些成果其实已经过时了，不再是尖端的东西！有的王公* *粉，一脸崇拜，叽叽喳喳说高斯留下的笔记有多伟大，多可笑。其实说这些笔记出版的时候一文不值有点伤人，但实际情况差不多就是这样。尤其对于职业数学家来说，高斯的笔记还是很有启发的，但基本不是前沿。几何的发展遵循黎曼的思想，代数群论的发展遵循阿贝尔和伽罗瓦的思想，分析和幂级数。随着威勒斯特拉斯和柯西思想的发展，数论主要沿着狄利克雷、黎曼和戴德金的思想发展，数学中最重要的发展不再与高斯的笔记甚至高斯本人有关

高斯的音符体现了高斯的全才和早期智慧，体现了高斯惊人的天赋。但是，即使高斯官方发表的完成度极高的论文并不是拔尖的开创性成果，更何况这些完成度不足、存在缺陷的成果呢？

奉承高斯没问题。高斯曾经是我的偶像。我也是高斯的脑粉，但严禁乱说。高斯不是万能的。正是因为这些笔记不是第一次发表，所以每个分支都被同龄的数学家或者学生超越了，剩下的也不多了。也是数学史上的一大遗憾。

如果这些笔记是在写作的时候发表的，即使有缺陷，也仍然是陌生的，前沿的，足以引导后人更进一步，大大提高数学史的进程，毫无疑问！问题是高斯笔记的内容在发表的时候已经被超越了！

高斯的笔记体现了他惊人的全能、早期智慧、个人能力和才华，相当于当时大多数顶尖数学家的成就。多么惊人的智力！但从学术意义上来说，其实高斯的笔记价值并不大，尤其是对于19、20世纪的现代数学来说，更是可以忽略不计！这也大大削弱了高斯应有的实际形象力和学术地位！

3.高斯以其早期的智慧而闻名。他是个年轻的天才，已经传了几百代了。但纵观高斯的职业生涯，他早年是出类拔萃的，但晚年却显得不那么辉煌。早慧传说作为当时的主导因素，在数学的各个分支领域都做出了杰出的贡献，其全能程度是无与伦比的。从整体学术成就来看，高斯是数学史上的里程碑，是古典数学的集大成者，是18世纪下半叶至19世纪上半叶统治数学的学者。高斯一定是历史上最强的数学家之一！但是随着数学的发展，特别是在对后世影响最大的19世纪，发现当代数学最伟大的里程碑式的成就，几乎没有一个是高斯创立并完成的。在几何、分析、代数甚至数论的某些领域，所有分支在高斯去世之前就已经被其他学者所超越，这个黑点高斯无论如何也无法跨越，这与17世纪牛顿的完全法则和18世纪欧拉的完全法则不同。在时代的统治力上，高斯不如牛顿欧拉，在洞察力、创造力和颠覆性上，高斯不如当代的黎曼、阿贝尔、伽罗瓦和后世的庞加莱，希尔伯特也没有比后世的格罗滕迪克更有优势。甚至在高斯活着之前，他就被黎曼完全超越了。所以注定高斯永远不可能成为数学史上的第一人！个人认为高斯排第二。考虑到各种学术因素，目前还勉强靠谱。因为和欧拉相比，其实从横向时代来看，普林斯和欧拉的综合学术成就几乎和其他人一样好，而和19世纪高斯的统治力相比，18世纪欧拉的统治力显然更有说服力。然而高斯在抽象性和严谨性上超越了很多。就学术理论而言，普林斯和欧拉都是杰出的全能天才，对各个领域的分支都做出了同等水平的贡献。不过高斯在深度和完成度上略胜欧拉。欧拉是分析的体现，无论是对数理论还是微分几何，高斯同时是最好的。欧拉的成果比较多但比较分散，而高斯的成果比较系统，所以高斯还是领先于欧拉。

与希尔伯特、格罗滕迪克、庞加莱相比，高斯的学术成就与20世纪三位大师几乎相同，学术完成度和深度、贡献度和影响力相等。即使在未来，这三个人也有可能超越高斯的地位，对现当代数学的影响是直接而突出的，学术难度也远高于高斯。

但是高斯最大的优势是时代的优势。相比这两位大师，高斯比这两位大师早一百年做出同等水平和分量的学术成就！这三位大师的学术影响力需要更多的时间来检验。也许再过一两百年，这些大师的地位可能会超过高斯，但现在还不适合排在高斯之前。

与伽罗瓦和阿贝尔相比，伽罗瓦和阿贝尔虽然引发了群论和结构化抽象代数的思潮，但却成为当代数学最重要的数学范式和浪潮，并深刻影响了物理学。可以说高斯的成就无人能及。

在思想、见识、创造力方面，高斯和这两个年轻人差距很大。尤其是群论和抽象结构数学已经主导了当代数学，这种影响是无与伦比的。当代数学与高斯时代的东西相去甚远，对后世的影响更是无人能及。但是高斯数学成果的全面性和完备性远远超过伽罗瓦和阿贝尔，高斯在时代各大分支都取得了顶尖的成就，而阿贝尔和伽罗瓦更像是代数党徒，阿贝尔的分析还可以，但是他对几何数论的贡献可以忽略不计，伽罗瓦本人对几何分析数论几乎没有贡献！高斯在整体综合成绩上已经超越阿贝尔。伽罗瓦很多！其次，即使说到阿贝尔，伽罗瓦的代表群论和结构化抽象数学思想，当然是极其辉煌的，高斯也没有与之相媲美的成就，但问题是伽罗瓦·阿贝尔只是开始了群论和抽象代数的思想，并在萌芽中取得了突破，但由于他的生命短暂，并没有取得更实质性的突破，也就是说，虽然伽罗瓦·阿贝尔和他的妻子表现出了深刻的洞察力和创造力， 但更多的是一个创始人萌芽的思想，群论和抽象代数的主要成果更多是庞加莱、希尔伯特、格罗滕迪克、戴德金等后人完成的，也就是说伽罗瓦·阿贝尔的成果在成就完成程度上还是原始粗糙的，并没有实质性地统治或改变数学。 在这方面，伽罗瓦和阿贝尔远远落后于黎曼。本来如果伽罗瓦·阿贝尔再活个二三十年，保持这样的创造力，就可以和庞加莱甚至黎曼抗衡，数学成就史上前三四年也就没有高斯了。

与伽罗瓦·阿贝尔相比，高斯的学术完成度远高于他们，尤其是数论和微分几何的成就，基本上终结了古典数学的时代，塑造了领域和研究。而且，高斯在数学的各个分支都取得了广泛的杰出成就，在1840年甚至1850年之前都处于领先地位。在这方面，阿贝尔和伽罗瓦无法与高斯相比。所以高斯的整体数学成绩比阿贝尔伽罗瓦高一半到一个年级，没有争议。综上，高斯目前历史排名第二，暂时合适。

NO1。黎曼

等级:超神

类型:超越时代

代表性成就:

1.黎曼几何(人类数学、物理乃至思想史，历史上最重要的智力和认知突破)，对于整个人类意义上来说，黎曼几何产生的时间概念空堪比牛顿力学、进化论、相对论、量子力学等。其意义远超微积分和群论，不存在争议。)

2.黎曼曲面，流形(现代数学和物理最重要的数学结构和基本工具之一，不解释)

3.黎曼定理(当代代数几何乃至物理的数学中心定理的中心支柱之一，未说明)

4.黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维均匀化定理吗？不解释)

5.黎曼猜想(最重要的数学猜想，历史上最惊艳的个人秀，包括高斯无压在内的单核滚数史理论家，160年前只有8页的短文，至今未被超越)

简短评论:

从纯数学学术成就来看，黎曼占据榜首毫无争议，这可能会让很多高斯粉、欧拉粉、牛顿粉不高兴，但从数学成就来看，黎曼在重要性、影响力、颠覆性突破等方面都远远超过高斯、欧拉、牛顿。换句话说，黎曼在数学上的成就大约等于高斯加欧拉加牛顿和庞加莱之和。她们

黎曼以下的数学家和他差距很大，基本不在一个层次，除了庞加莱可以稍微接近拓扑难度。

黎曼是数学界最有影响力的数学家；

1.历史上唯一拥有全面统治力的数学家，没有一个！以黎曼命名的数学成果有81个，仅次于高斯(110)和欧拉(102)。数学成就不是黎曼的主要贡献。黎曼似乎对如何证明和发现各种数学分支的几十个定理兴趣不大。黎曼只从事统一几何、数论、分析等各种分支的数学工具，重新改变数学的概念和定义！其他数学家停留在发现和研究数学，黎曼直接创造数学。

这就是为什么黎曼比高斯、庞加莱、欧拉、牛顿更优秀的原因。黎曼所做的是数学史上最重要的工作，黎曼是唯一一个做这些工作的人。

很多人说黎曼的主要成就是创造了复变函数、非欧几何、解析数论、代数几何、拓扑学等学科并奠定了基础，这当然是伟大的、形式化的，但这种评价并不能准确评估黎曼的地位。如果黎曼只创造了许多新学科，他的数学成就和地位也不会高于欧拉、高斯、庞加莱、希尔伯特和牛顿。

创建数学的许多分支并不是黎曼的核心成就。黎曼的荣耀来自于他创造这些分支时发明的方法和数学结构，但这些数学结构是连接几何、分析、拓扑、数论乃至物理的工具，如黎曼曲面、流形、黎曼罗奇定理、黎曼映射定理等，都是直接连接数学和物理最重要的数学工具。很难想象当代一流的数学家或理论物理学家不能使用这些工具

黎曼的创造性工作使他成为唯一一位主宰数论、几何和大数分析等分支，并为现代物理提供了最强大的数学结构的超神数学家。唯一接近黎曼的是庞加莱。牛顿把分析和物理联系起来，但牛顿在数论、代数、几何方面的成就太低，根本达不到标准；

高斯、欧拉、柯西等人的成果涵盖了数论的代数几何分析，号称是全才，但比起黎曼的直接连接分支的工作，根本不是一门课的工作。

黎曼的一篇八页纸，可以扼杀高斯除了算术探索和曲面几何以外的所有成果。阿贝尔和伽罗瓦从群论中画代的思想，不仅可以主宰数学的全局，还可以完美地链接物理，本来可以与黎曼抗衡。然而他们短暂的一生却留下了数学史上最大的遗憾。

黎曼唯一的缺点就是没有在代数群论上有所建树，影响了他真正的统一数学领域，但也留下了很大的建树。请不要忘记，黎曼-罗奇定理是现代抽象结构代数几何的中心！

2.历史上没有最有创造力、最有洞察力、最有远见的数学家。

黎曼从来不以证明定理和爆炸计算能力著称，甚至不在乎证明的严密性。黎曼只自由创造！

黎曼曲面、流形、度量、曲率张量、亏格、参数模、模间空、力是几何、间空，等等，这些在当时的数学中看似陌生的新概念和新概念，后来被证明是黎曼提出的新概念和新概念。这些都是开启数学物理的正确途径，是数学物理进入现代的基石。没有黎曼用空创造的这些奇奇怪怪的东西，现代数学和现代理论物理估计也就完了。相对论和量子场论大概都是民用学科，物理理论最热门的分支弦理论绝对没了。

而这些奇怪的东西在黎曼的几十篇论文中随处可见。如果你发明了这些新概念中的一个，你将成为中国第一个数学家，甚至是世界顶级数学家！甚至他的子层次成果，如柯西黎曼条件、黎曼积分、黎曼施瓦茨定理、黎曼泽塔函数等等，都能让任何数学家成为相关领域的顶尖学者！

高斯是古典数学大师，启发了现代数学，但黎曼、伽罗瓦、阿贝尔把数学引入了现代化，其中黎曼是现代数学和物理爆炸的起源！

3.现代数学的创始人，现代数学之王，对现代数学影响最深的学者，都不是！

4.历史上没有思想最深刻、最有深度的数学家！我一生只有18篇论文，但其中所包含的思想正在引领数学家走向一个新的境界。

黎曼的数学思想具有主导性、创造性、前沿性和指导性。它不仅发现了金矿，还为后来的人们挖掘金矿提供了工具。就完整性和启发性而言，是历史第一，毫无争议！

5.黎曼改写了数学的语言、概念和定义。黎曼之后，人们突然发现* *，原来的数学也可以这样做，但是这样做出来的东西价值很大，沿着黎曼几十篇文章做出来的东西才是现代数学和理论物理的正确表述。这个太重要了，思路的突破是决定性的。只有庞加莱，伽罗瓦，可怜的阿贝尔才能和黎曼抗衡！

6.对当代物理学影响深远。中国数学家丘成桐、陈省身和物理学家杨振宁都是黎曼的脑粉。丘成桐说，只要其中一个中国学生能完成黎曼论文的一部分，那个人就能成为中国最伟大的数学家。虽然有点夸张，但也显示了黎曼的巨大影响力。

杨-米尔斯理论的本质是黎曼-罗氏定理到目前为止的最终应用。这个黎曼-罗氏定理的每一次成功推广，都是数学和物理上的巨大进步。当代最伟大的英国数学家阿蒂亚认为，扬-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。它是黎曼-罗奇-格罗滕迪克定理的推广，与代数几何有关，同时直接将分析与拓扑和微分几何不变量联系起来。

数学金字塔Top3，深度黎曼，宽度高斯，难度庞加莱，黎曼站在高斯的肩膀上，完全超越了它。但在黎曼之后，数学大师庞加莱和格罗滕迪克都无法完全走出黎曼的阴影，奠定上述两人核心地位的拓扑学和代数几何原型都是黎曼开创的，这只是黎曼成就的一部分。黎曼对发现新的数学理论和分支、解决难题不感兴趣，只提供新的数学概念。

黎曼的黑点:

1.思想和方法太超前了，在当时无法理解。虽然黎曼生前一直被公认为他那个时代最强的数学家之一，但这只是他的同龄人能理解的工作。黎曼更重要的思想在他的论文中创造了奇怪的新概念，这是当时几位数学家所能理解的非常值得怀疑的。而黎曼开发的思维、方法和工具领域，近50年来，也就是半个世纪以来，一直是一个相对冷门的研究领域。更多的作为一种自洽几何，有几个意大利学者在玩，没人觉得有用，也不是数学的主流。比如黎曼猜想，半个世纪以来也吸引了很少的人。相比较而言，Willerstrass、Jacobi和戴德金是数学的主流，Abel和Galois的理论也逐渐成为主流。

而且黎曼在证明某些东西上的不精确性也让后来的数学家避开了黎曼曲面这种上帝的利器。好在那些意大利学者默默坚持做这些无用的研究，后人在克莱因、希尔伯特、庞加莱的支持下，黎曼终于回到了神坛。在重新发现黎曼的过程中，相关学者当然也获得了超级丰厚的回报，尤其是相对论的诞生，直接让黎曼成为数学史上的第一人。

2.黎曼在世时，被公认为当时最强的数学家之一。但他的成就和地位都不及上一代人，如高斯柯西、威勒斯特拉斯、雅可比、阿贝尔、伽罗瓦，他们的名声都高于黎曼，甚至比得上狄利克雷、戴德金、爱森斯坦。这无疑大大低估了黎曼的实际成就。

当时看不清楚，但160年后回头看，黎曼是19世纪数学上最耀眼的灿烂星空中心的一颗，光线足以照亮整颗星空！

——终点——

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